知恵の光をマリガンで返して戻ってきて1ターン目にプレイしたときを考慮した欲しいカードが引ける確率計算について

前回の記事（マナリアウィッチデッキにおける知恵の光をマリガンで単キープするかどうかについての計算検討）の続きの検討になります。背景等はそちらに書いてありますので、本記事を読む前にそちらから読んだ方がよいです。

 

前回の記事では、結果としては、１～２ターン目に欲しいカードを持ってくる確率は《知恵の光》をマリガンで返すこと方が高く、それ以降は単キープしてでも１ターン目に《知恵の光》をプレイしてデッキ圧縮しておいた方が良い、となりました。

 

しかし、この段階の検討では、《知恵の光》をマリガンで返した後、さらに《知恵の光》を引いてきて１ターン目にプレイできることがある、という事象を考慮できていませんでした。

 

ということで、この事象を考慮した計算を行ってみたいと思います。

 

※記事編集するなかで何度も計算ミスして修正してを繰り返しているので計算の考え方や計算式の過程は修正忘れ等でやや変な表現になっているかもしれません。

 

※計算の過程が長いので、結論だけ見たい方は下のほうの「計算結果」のところまで読み飛ばしてください。

 

計算の考え方

まずはじめに、計算したい事象について整理したいと思います。

 

《知恵の光》をマリガンで返した後、さらに《知恵の光》を引いてきて１ターン目にプレイできることがある、という事象は、より具体的にすると、初期手札（マリガン前）に１～2枚の《知恵の光》があり※、それら全てを返して、１ターン目のドローまでに別の《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる、ということになります。

 

※初期手札に１～2枚の《知恵の光》があるという条件は、そもそも《知恵の光》を単キープするかどうかの比較のため、1枚は持っているはずであり、3枚もっているとシャドウバースのマリガンの仕様（非公式見解）上、マリガンで返しても1枚も引いてこれないため、2枚としています。

 

よって、これを計算する方針としては、計算するシチュエーションをそれぞれ独立した事象となるように場合分けし、あとでそれらの確率を足し算することで確率を求められそうです。

 

場合分けするシチュエーションは以下になります。

1. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して《知恵の光》を引いてこなかった場合
2. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に少なくとも1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合
3. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚も引けなくて、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合
4. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して《知恵の光》を引いてこなかった場合
5. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合
6. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚も引けなくて、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合
7. 初期手札に《知恵の光》が３枚あるとき、全てを戻して、１ターン目のドローでも《知恵の光》を引いてこなかった場合
8. 初期手札に《知恵の光》が３枚あるとき、全てを戻して、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

 

※本当は引いてきたけど1ターン目に《知恵の光》をプレイしないという条件もありますが、今回は無視します。

 

この中で、（１、４、７）と（２、３、５、６、８で追加の１ドローしなかった場合）の合算した確率は前回の記事（マナリアウィッチデッキにおける知恵の光をマリガンで単キープするかどうかについての計算検討）で計算した結果と等価となります。そこで、今回は１～８の事象が起こる確率を計算し（つまり、前回計算した確率の内訳を算出する）、ドローを進められる（２、３、５、６、８）についてはドローを進めた状態の確率と（１、４、７）の確率とを足し算すれば全体の確率が求められはずです。

 

この２、３、５、６、８の事象において追加で１ドローできる分の確率が、《知恵の光》をマリガンで返すメリットが上乗せされることになります。つまり、《知恵の光》を単キープすることに対して、欲しいカードを少なくとも1枚は引いてこれるまでの確率が逆転するターンが前回の記事では3ターン目でしたが、それよりも遅くなるはずです。

 

計算式の導出

それでは、まず、難しい方の２、３、５、６、８について計算式を立てていきます。

2. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に少なくとも1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

ここで、初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、という状況をデッキ37枚の中に《知恵の光》が2枚眠っているとみます。

 

前回の記事では、欲しいカードを少なくとも1枚は引ける確率は、全事象100%のうち、すべて欲しいカードではなかった確率を引けばよいので、

１－（欲しいカードが1枚も引けない確率）

としました。

 

これを今回のシチュエーションの条件を付与するわけですが、前回計算した（欲しいカードを少なくとも1枚は引ける確率）というものの中には、（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてこれたとき）と、（マリガンで《知恵の光》を引いてこれなかったとき）の2種類に分類できるので、（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてこれたとき）の欲しいカードを少なくとも1枚は引ける確率を求めればよいと考えます。

 

つまり、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる確率）×

のときは、あとで出てくるドロー枚数Ｚを１つ多くカウントすればよいこととします。

 

まず、（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）について考えます。前回から続いているこの考察は、少なくとも1枚は《知恵の光》があったときを前提としています。なので、

• 初期手札が《知恵の光》１枚→3/6
• 初期手札が《知恵の光》2枚→2/6
• 初期手札が《知恵の光》3枚→1/6

という確率分布になるはずなので、先ほどの１～８の事象をそのような分配で分けるようにします。

 

今回の場合は初期手札が《知恵の光》１枚なので、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）＝3/6

とします。

 

ここで、（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる確率）は、デッキ37枚から眠っている2枚の《知恵の光》を引ける確率なので、

（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる確率）

＝１－（37枚中3枚のうち1枚も《知恵の光》を引けない確率）

で計算されます。

 

マリガンでは3枚引けるので、37枚から3枚を選ぶ場合の数はＣ(37、3)通り、そのうち、2枚の《知恵の光》以外の35枚の中から3枚を選ぶことになるので、この場合の場合の数はＣ(35、3)通り。

つまり、

（37枚中3枚のうち1枚も《知恵の光》を引けない確率）

＝Ｃ(35、3) / C(37、3)

となります。

 

（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））は前回の記事で導出しているので省略します。

 

 

結果として、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる確率）

＝3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×｛１－Ｃ(35、3) / C(37、3)｝

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

となります。

 

この確率のときは、あるターンにおけるドローした枚数Ｚが初手《知恵の光》でドローできる分引ける確率が上がるという計算になります。

 

3. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚も引けなくて、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

こちらも同じように考えていきます。こちらはちょっと複雑です。というのも、最初の1ターン目が《知恵の光》をドローすることが確定されているからです。

 

そして、マリガンで《知恵の光》もドローできていないことも考慮する必要があります。

 

前項の考え方をもとに考えると、今回のシチュエーションでは、

（初期手札に《知恵の光》が１枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝｛１－（マリガンで欲しいカードが1枚も引けない確率）×（通常のドローで1枚も欲しいカードが引けない確率）｝×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

となります。

 

そろそろ頭が痛くなってきますね。。

 

一つずつほどいていきます。

 

（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）は、37枚のデッキのうち、デッキに眠っている《知恵の光》2枚以外のカードを引く確率なので、35枚から3枚を選ぶ確率となります。

 

すなわち、

（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）

＝Ｃ(35、3)　/　C(37、3)

となります。

 

次に、（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）についてです。

 

マリガンで《知恵の光》を全てデッキに戻しており、《知恵の光》をマリガンで引けなかったので、デッキの中には3枚の《知恵の光》が眠っていることになります。

 

つまり、デッキ37枚のうち3枚のどれかを引ければよい確率なので、

（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝3 / Ｃ(37、1）＝3 / 37

 

結果をまとめると、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　｛１－（マリガンで欲しいカードが1枚も引けない確率）×（通常のドローで1枚も欲しいカードが引けない確率）｝×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(36-Y、Ｚ-１）/Ｃ(36、Ｚ-１)　｝×　Ｃ(35、3)　/　C(37、3)　×　3 / 37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

となります。

 

5. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚の《知恵の光》を引いてこれて、１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

2のシチュエーションで数字が変わっただけなので、結果だけ記載します。

 

（初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を少なくとも1枚は引いてくる確率）×（最初の１ドローで《知恵の光》をドローしない確率）

＝2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×｛１－Ｃ(36、3) / C(37、3)｝　×　34/37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

6. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して、マリガン完了時に1枚も引けなくて、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

3のシチュエーションで数字が変わっただけなので、結果だけ記載します。

 

（初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝（初期手札に《知恵の光》が2枚あるとき）　×　｛１－（マリガンで欲しいカードが1枚も引けない確率）×（通常のドローで1枚も欲しいカードが引けない確率）｝×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×　Ｃ(36、3)　/　C(37、3)　×　3 / 37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

8. 初期手札に《知恵の光》が３枚あるとき、全てを戻して、１ターン目のドローした時点で1枚の《知恵の光》を引いてこれて１ターン目に《知恵の光》をプレイした場合

３や６と同じように考えます。

 

（初期手札に《知恵の光》が3枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝（初期手札に《知恵の光》が3枚あるとき）　×　｛１－（マリガンで欲しいカードが1枚も引けない確率）×（通常のドローで1枚も欲しいカードが引けない確率）｝×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

 

このうち、（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）＝100％なので、ここに１を代入することになるので、

 

（初期手札に《知恵の光》が3枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝（初期手札に《知恵の光》が3枚あるとき）　×　｛１－（マリガンで欲しいカードが1枚も引けない確率）×（通常のドローで1枚も欲しいカードが引けない確率）｝×（マリガンで《知恵の光》がドローできていない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローする確率）

＝1/6　×　{１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)}　×　1　×　3 / 37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

計算式のまとめ（知恵の光が引けたとき）

これまでの計算式を足し算すればよいので、

（《知恵の光》を再度引いてきた場合のＹ枚の欲しいカードのうち少なくとも１枚が引ける確率）

＝（２の結果）＋（３の結果）＋（５の結果）＋（６の結果）＋（８の結果）

＝3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×｛１－Ｃ(35、3) / C(37、3)｝　×　34/37

＋3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×　Ｃ(35、3)　/　C(37、3)　×　3 / 37

＋2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×｛１－Ｃ(36、3) / C(37、3)｝　×　34/37

＋2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×　Ｃ(36、3)　/　C(37、3)　×　3 / 37

＋1/6　×　{１－Ｃ(37-Y、Ｘ)/C(37、X)　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)}　×　1　×　3 / 37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

となります。

 

Ｘになってたり３が直接代入されてたり、記述に一貫性がなくて申し訳ありません。。

 

 

 

つづいて、知恵の光を引けなかったときについて計算します。こちらはこれまでの逆を計算すればよいので簡単です。

 

1. 初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき、全てを戻して《知恵の光》を引いてこなかった場合

２と３のシチュエーションの逆を求めればよいので、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を1枚も引けない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローしない確率）

となります。

 

すなわち、

（初期手札に《知恵の光》が1枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を1枚も引けない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローしない確率）

＝3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×Ｃ(35、3) / C(37、3)　×　34/37

となります。

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

4. 初期手札に《知恵の光》が２枚あるとき、全てを戻して《知恵の光》を引いてこなかった場合

１と同様に考えます。

 

すなわち、

（初期手札に《知恵の光》が2枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を1枚も引けない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローしない確率）

＝2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×Ｃ(36、3) / C(37、3)　×　34/37

となります。

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

7. 初期手札に《知恵の光》が３枚あるとき、全てを戻して、１ターン目のドローでも《知恵の光》を引いてこなかった場合

１と同様に考えます。

 

すなわち、

（初期手札に《知恵の光》が3枚あるとき）　×　（１－（欲しいカードが1枚も引けない確率））×（マリガンで《知恵の光》を1枚も引けない確率）×（最初の１ターン目に《知恵の光》をドローしない確率）

＝1/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×　1　×　34/37

となります。

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

計算式のまとめ（知恵の光が引けなかったとき）

これまでの計算式を足し算すればよいので、

（《知恵の光》を再度引けなかった場合のＹ枚の欲しいカードのうち少なくとも１枚が引ける確率）

＝（１の結果）＋（４の結果）＋（７の結果）

＝3/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×Ｃ(35、3) / C(37、3)　×　34/37

＋2/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×Ｃ(36、3) / C(37、3)　×　34/37

＋1/6　×　｛１－Ｃ(37-Y、3)/C(37、3))　×　Ｃ(37-Y、Ｚ）/Ｃ(37、Ｚ)　｝×　1　×　34/37

 

Ｘ：マリガンで戻す枚数（今回の場合＝３）

Ｙ：欲しいカードの枚数

Ｚ：ドローした枚数

 

計算式まとめ（全体）

（《知恵の光》を再度引くことを考慮した場合のＹ枚の欲しいカードのうち少なくとも１枚が引ける確率）

＝（《知恵の光》を再度引いてきた場合のＹ枚の欲しいカードのうち少なくとも１枚が引ける確率）※＋（《知恵の光》を再度引けなかった場合のＹ枚の欲しいカードのうち少なくとも１枚が引ける確率）

 

※ただし、《知恵の光》を再度引いてきた場合、ドローした枚数Ｚが《知恵の光》を再度引いてこなかった場合と比べて＋１された状態で和算する。

 

計算結果

計算結果は以下の表になります。

（クリックでおおきくなります）

 

前回同様に欲しいカードをミラ、アン、オーウェンの3種９枚と仮定した場合の、

1. 知恵の光単キープ＆１ターン目にプレイ
2. 3枚全マリガン（知恵の光を再度引くことを考慮しない）
3. 3枚全マリガン（知恵の光を再度引くことを考慮する）

の3パターンを比較した表が下記になります。

考察

今回の結果として、まず、3枚全マリガンのうち、《知恵の光》をプレイする前の結果が、《知恵の光》の再引きを考慮した場合としない場合で同じ値になっています。

 

そして、《知恵の光》の再引きを考慮した方が、《知恵の光》をプレイできる可能性がわずかにあるので、その分、欲しいカードを引く確率は高くなっています。

 

この傾向から、今回の計算はそこそこ妥当っぽいようになっているようにみえます。（あんまり自信ないですが……）

 

 

さて、本質の議論についてですが、《知恵の光》をマリガンのときに戻したときは、再引きを考慮すると、１～６ターン目までは《知恵の光》を単キープするよりはマリガンで戻したほうが欲しいカードを引ける確率は高いです。

 

その逆転が生じる7ターン目以降の《知恵の光》を単キープするときと全マリガンするときの差を見ると0.1％にも満たないです。その反面、《知恵の光》をプレイしたあとの２～３ターン目に着目してみると、１％ほど全マリガンするほうが有利ということがわかります。

 

上記の内容から結果をまとめると、欲しいカードを引く確率を上げたいという観点において、総じて《知恵の光》を単キープしないほうが良いという結論になるといえます。

 

もちろん、《知恵の光》を単キープするのは別に欲しいマナリアカードを引きやすくするためだけじゃない、という側面もあると思いますので、一概には言えませんが、少なくとも欲しいマナリアカードを引きやすくしたい、という理由のみで《知恵の光》を単キープしていたのであれば考えを改める必要があるのかもしれません。

 

注意点

確率の問題はとても難しく、かなり複雑のため、今回の計算結果に誤りがあるかもしれないので、その点ご了承お願いいたします。

 

さいごに

私が過去やっていた（今もすこしやっていますが）カードゲームの世界では、プログラムを組んでシミュレーションするような方々がいて、シミュレーションなのでプレイの試行回数を高速でかせいで、確率論ではなく、統計学的に傾向を議論するようなことが行われていました。

 

今回、理論的に計算を詰めて言ったんですが、むしろそっちのアプローチの方がよかったのかもしれないなと後になって思いました。